Các Bất Đẳng Thức Phụ Thường Dùng Trong Cm Bđt, Các Bất Đẳng Thức Phụ Thường Dùng
nội dung bài viết này Vted thống kê cho mình đọc các bất đẳng thức cơ bản như BĐT AM - GM (Côsi), BĐT Cauchy - Schwarz (Bunhiacopsky), BĐT chứa căn thức, BĐT Mincopsky (Véctơ) đề nghị nhớ áp dụng trong số bài toán giá trị lớn số 1 và giá bán trị nhỏ tuổi nhất:
Bất đẳng thức đạt được từ hằng đẳng thức dạng $(a-b)^2ge 0$
$a^2+b^2ge 2ab;able left( fraca+b2
ight)^2;a^2+b^2ge frac12(a+b)^2.$ dấu bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi $a=b.$$a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ca.$ vệt bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi $a=b=c.$$a^2+b^2+c^2ge frac13(a+b+c)^2.$ dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$$(a+b+c)^2ge 3(ab+bc+ca).$ dấu bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi $a=b=c.$
Bất đẳng thức với nhì căn thức cơ bản
$sqrta+sqrtbge sqrta+b.$ vệt bằng xảy ra khi còn chỉ khi $a=0$ hoặc $b=0.$$sqrta+sqrtble sqrt2(a+b).$ dấu bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi $a=b.$Ví dụ 1:Cho nhì số thực $x,y$ bằng lòng $x+y=2left( sqrtx-3+sqrty+3
ight).$ Tìm giá bán trị bé dại nhất của biểu thức $P=4(x^2+y^2)+15xy.$
Nếu $x+y=0Leftrightarrow x=3;y=-3Rightarrow P=-63.$Nếu $x+yin <4;8>,$ xuất phát từ điều kiện khẳng định căn thức ta có: <(x-3)(y+3)ge 0Rightarrow xyge 3(y-x)+9.>
Dấu bằng đạt tại $x=7,y=-3.$ Đối chiếu hai trường thích hợp ta Chọn giải đáp C.
*Chú ý: Hàm số $y=4t^2-21t$ đồng trở nên trên đoạn $<4;8>$ buộc phải ta có review $4(x+y)^2-21(x+y)ge 4.4^2-21.4.$
Bất đẳng thức AM – GM (Sách giáo khoa nước ta gọi là bất đẳng thức Côsi)
Với nhị số thực không âm ta bao gồm $a+bge 2sqrtab.$ vệt bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b.$Với ba số thực ko âm ta bao gồm $a+b+cge 3sqrt<3>abc.$ vệt bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$Với $n$ thực không âm ta có $a_1+a_2+...+a_nge nsqrta_1a_2...a_n.$ vết bằng xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=...=a_n.$Ví dụ 1:Cho $a>0;b>0$ toại ý $log _2a+2b+1(4a^2+b^2+1)+log _4ab+1(2a+2b+1)=2.$ quý hiếm biểu thức $a+2b$ bằng
Mặt không giống $4a^2+b^2ge 2sqrt4a^2.b^2=4abRightarrow 4a^2+b^2+1ge 4ab+1Rightarrow dfracln (4a^2+b^2+1)ln left( 4ab+1
ight)ge 1.$
Do đó dấu bằng phải xảy ra tức
Do kia $a+2b=frac34+3=frac154.$ Chọn lời giải D.
Ví dụ 2:Cho những số thực dương $x,y,z.$ Biết giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức $P=dfracx^2y+dfracy^24z+dfracz^2x+dfrac175sqrtx^2+94(x+1)$ là $dfracab$ cùng với $a,b$ là những số nguyên dương cùng $fracab$ tối giản. Tính $S=a+b.$
A. $S=52.$
B. $S=207.$
C. $S=103.$
D. $S=205.$
Giải.Ta reviews ba số hạng đầu nhằm mất đổi mới y với z bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
Dấu bởi đạt trên $left{ eginalign&dfracz^2x=dfracy^28z=dfracx^24y, \ và x=4 \ endalign
ight.Leftrightarrow (x;y;z)=(4;4;2).$
Ví dụ 3.Cho những số thực $a,b,c$ to hơn $1$ bằng lòng $log _abc+log _bca+4log _cab=10.$ Tính cực hiếm biểu thức $P=log _ab+log _bc+log _ca.$
A. $P=5.$
B. $P=frac72.$
C. $P=frac214.$
D. $P=frac92.$
Giải. Chú ý biến hóa logarit $log _axy=log _ax+log _ay(x>0,y>0),00;log _bc>0;log _ca>0$ và chú ý tính hóa học $log _xy.log _yx=1left( 0Ví dụ 4.Có toàn bộ bao nhiêu bộ bố số thực $(x;y;z)$ bằng lòng đồng thời các điều kiện bên dưới đây<2^sqrt<3>x^2.4^sqrt<3>y^2.16^sqrt<3>z^2=128> cùng $left( xy^2+z^4
ight)^2=4+left( xy^2-z^4
ight)^2.$
A. $8.$
B. $4.$
C. $3.$
D. $2.$
Giải. Ta bao gồm <2^sqrt<3>x^2.4^sqrt<3>y^2.16^sqrt<3>z^2=128Leftrightarrow 2^sqrt<3>x^2+2sqrt<3>y^2+4sqrt<3>z^2=2^7Leftrightarrow sqrt<3>x^2+2sqrt<3>y^2+4sqrt<3>z^2=7.>
Khai thác điều kiện số 2, ta có
Mặt không giống theo bất đẳng thức AM – GM đến 7 số thực dương ta có
Do đó dấu bởi phải xẩy ra tức x^2 = sqrt<3>y^2 = sqrt<3>z^2 = 1\ xy^2z^4 = 1 endarray
ight. Leftrightarrow x = 1;y,z in left - 1;1
ight.>
Mỗi số $y,z$ bao gồm 2 giải pháp vậy có tất cả $1.2^2=4$ cỗ số thực thoả mãn. Chọn giải đáp B.
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Sách giáo khoa vn gọi là bất đẳng thức Bunhiacopsky)
Ta luôn luôn có $(a^2+b^2)(x^2+y^2)ge (ax+by)^2.$ lốt bằng xảy ra khi và chỉ khi $fracax=fracby.$
Ta xuất xắc sử dụng: $-sqrt(a^2+b^2)(x^2+y^2)le ax+byle sqrt(a^2+b^2)(x^2+y^2).$
Dấu bằng bên đề xuất đạt tại $fracax=fracby=k>0;$ dấu bằng bên trái đạt trên $fracax=fracby=k Ta luôn luôn có $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)ge (ax+by+cz)^2.$ vệt bằng xảy ra khi còn chỉ khi $fracax=fracby=fraccz.$Ta luôn luôn có $(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)ge (a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n)^2.$ lốt bằng xẩy ra khi và chỉ khi $fraca_1x_1=fraca_2x_2=...=fraca_nx_n.$Ví dụ 1:Cho hai số thực $x,y$ đồng tình $x^2+y^2le 2x+3y.$ giá trị lớn số 1 của biểu thức $2x+y$ bằng
A. $frac19+sqrt192.$
B. $frac7+sqrt652.$
C. $frac11+10sqrt23.$
D. $frac7-sqrt102.$
Giải. Ta có biến đổi giả thiết: $x^2-2x+y^2-3yle 0Leftrightarrow (x-1)^2+left( y-frac32
ight)^2le frac134.$
Khi đó $2x+y=2(x-1)+left( y-frac32
ight)+frac72le sqrtleft( 2^2+1^2
ight)left( (x-1)^2+left( y-frac32
ight)^2
ight)+frac72le sqrt5.frac134+frac72=frac7+sqrt652.$
Dấu bằng đạt tại (left{ eginarrayl fracx - 12 = fracy - frac321 = k>0\ 2x + y = frac7 + sqrt 65 2 endarray
ight. Leftrightarrow x = frac5 + sqrt 65 5;y = frac15 + sqrt 65 10.) Chọn câu trả lời B.
Ví dụ 2: Cho những số thực $x,y,z$ hài lòng $x^2+y^2+z^2-4x+2y-12le 0.$ giá trị lớn nhất của biểu thức $2x+3y-2z$ bằng
A. $17.$
B. $25.$
C. $21.$
D. $24.$
Giải. Biến đổi giả thiết gồm $(x-2)^2+(y+1)^2+z^2le 17.$
Dấu bởi đạt tại (left{ eginarrayl fracx - 22 = fracy + 13 = fracz - 2\ 2x + 3y - 2z = 21 endarray
ight. Leftrightarrow x = frac7417,y = frac4317,z = - frac4017.) Chọn lời giải C.
Ví dụ 3. Cho hai số thực $x,y$ đổi khác thoả mãn $x+y=sqrtx-1+sqrt2y+2.$ gọi $a,b$ lần lượt là giá chỉ trị lớn nhất và giá chỉ trị bé dại nhất của biểu thức $S=x^2+y^2+2(x+1)(y+1)+8sqrt4-x-y.$ Tính $P=a+b.$
A. $P=44.$
B. $P=41.$
C. $P=43.$
D. $P=42.$
Giải. Ta có $x+y=sqrtx-1+sqrt2(y+1)le sqrt3(x+y)Rightarrow t=x+yin <0;3>.$
Khi đó
$eginalign& S=(x+y)^2+2(x+y)+8sqrt4-x-y+2 \& =f(t)=t^2+2t+8sqrt4-t+2in <18;25>,forall tin <0;3>Rightarrow P=18+25=43.endalign$
Chọn câu trả lời C.
Ví dụ 4:Số phức $z$ hài lòng $left| z+1-2i
ight|=2sqrt2,$ giá trị lớn số 1 của biểu thức $aleft| z-1
ight|+bleft| z+3-4i
ight|,left( a,b>0
ight)$ bằng
Với các số thực dương $x_1,x_2,...,x_n$ ta luôn có $dfraca_1^2x_1+dfraca_2^2x_2+...+dfraca_n^2x_nge frac(a_1+a_2+...+a_n)^2x_1+x_2+...+x_n.$ Dấu bằng đạt tại $dfraca_1x_1=dfraca_2x_2=...=dfraca_nx_n.$
Ví dụ 1: Cho hàm số $y=(x+m)^3+(x+n)^3+(x+p)^3-x^3,$ gồm đồ thị $(C).$ Tiếp đường của $(C)$ trên điểm bao gồm hoành độ $x=1$ có hệ số góc nhỏ tuổi nhất. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $m^2+2n^2+3p^2$ bằng
A. $frac1211.$
B. $frac9611.$
C. $frac4811.$
D. $frac2411.$
Giải. Hệ số góc của tiếp đường là
$k=y"=3(x+m)^2+3(x+n)^2+3(x+p)^2-3x^2=6x^2+6(m+n+p)x+3m^2+3n^2+3p^2$ đạt giá trị bé dại nhất trên $x=-frac6(m+n+p)2.6=-fracm+n+p2.$ Theo mang thiết có $-fracm+n+p2=1Leftrightarrow m+n+p=-2.$
Khi kia theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có:
Vậy hằng số $k$ phải tìm là nghiệm dương của phương trình $dfrac1dfrac1k+3+dfrac1k+4+dfrac1k+5=kLeftrightarrow k^3+6k^2-30=0Rightarrow kapprox 1,9434.$ vì thế chọn đáp án C.
Bất đẳng thức Mincopski (bất đẳng thức véctơ)
$sqrta^2+b^2+sqrtm^2+n^2ge sqrt(a+m)^2+(b+n)^2.$ vết bằng xảy ra khi và chỉ khi $fracam=fracbn=k>0.$Ví dụ 1:Giá trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức $sqrt(x-1)^2+y^2+sqrt(x+1)^2+y^2+left| y-2
ight|$ bằng
Do đó $sqrt(x-1)^2+y^2+sqrt(x+1)^2+y^2+left| y-2
ight|ge f(y)=2sqrty^2+1+left| y-2
ight|ge undersetmathbbRmathopmin ,f(y)=fleft( frac1sqrt3
ight)=2+sqrt3.$
Dấu bởi đạt tại (left{ eginarrayl fracx - 1 - x - 1 = fracyy\ y = frac1sqrt 3 endarray
ight. Leftrightarrow x = 0;y = frac1sqrt 3 .) Chọn giải đáp C.
Bạn hiểu cần bạn dạng PDF của nội dung bài viết này hãy để lại bình luận trong phần comment ngay bên dưới nội dung bài viết này Vted đã gửi cho các bạn
Đề thi thử xuất sắc nghiệp trung học phổ thông 2023 môn Toán có lời giải chi tiếtCombo 4 Khoá Luyện thi THPT quốc gia 2023 Môn Toán dành riêng cho teen 2K5
Fj QXMYs7.png" alt="*">
Các bất đẳng thức cơ bản cần lưu giữ áp dụng trong số bài toán giá bán trị lớn số 1 và giá bán trị nhỏ dại nhất>>Tải về Tổng hợp các công thức lượng giác đề nghị nhớ>>Sách tìm hiểu Tư Duy kỹ thuật Giải Bất Đẳng Thức vấn đề Min- Max
XEM TRỰC TUYẾN
>>Tải về bài viết Các bất đẳng thức cơ bạn dạng cần lưu giữ áp dụng trong số bài toán giá bán trị lớn nhất và giá bán trị nhỏ tuổi nhất
TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP
1) cho a>0, b>0. Chứng tỏ rằng
Giải:
Cách 1: Ta có:
(Bất đẳng thức đúng vì chưng a, b > 0 bắt buộc 2 )
Vậy
Cách 2: (vì 22 )
2) chứng tỏ rằng: x2 + 3 +
Giải:
Áp dụng bắt đẳng thức cô- si cho hai số dương và ta có:
3) mang lại a>0, b>0. Minh chứng rằng:
16 trangminhquan8860822Download Bạn sẽ xem tư liệu "Tuyển tập những bất đẳng thức hay gặp", để sở hữu tài liệu cội về máy chúng ta click vào nút DOWNLOAD sinh sống trên
TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP1) cho a>0, b>0. Chứng minh rằng Giải:Cách 1: Ta có: (Bất đẳng thức đúng vày a, b > 0 yêu cầu 2)Vậy biện pháp 2: (vì 22)2) chứng tỏ rằng: x2 + 3 + Giải:Áp dụng bắt đẳng thức cô- si mang đến hai số dương cùng ta có: 3) cho a>0, b>0. Chứng minh rằng:Giải: (BĐT đúng)Vậy 4) mang đến a + b 1. Chứng tỏ rằng a2 + b2 1Ta có: a + b 1 nhưng mà (a – b)2 0. Cho nên vì vậy (a + b)2 + (a - b)2 15) mang đến a > b, b > c, c > 0. Chứng tỏ rằng: Giải:Ta có: còn mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki Vậy 6) đến a, b, c vừa lòng điều kiện 0 cùng a+b+c=3. Chứng tỏ rằng: Giải:0 a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab+bc+ca)7) đến a,b,c là tía cạnh của một tam giác. Minh chứng rằng: a2b + b2c + c2a + a2c + c2b + b2a - a3 - b3 - c3 > 0Giải:Vì a, b, c là độ fài ba cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức ta có: b + c > a, c + a > b, a + b > c a2(b + c) > a2. A ; b2(c + a) >b2.b ; c2(a + b) > c2.c a2b + a2c > a3; b2c + b2a >b3 ; c2a + c2b > c3 a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b > a3 + b3 + c3 a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b - a3 - b3 - c3 > 0 (đpcm)8) mang đến a,b,c là tía cạnh của một tam giác bao gồm chu vi bằng 2. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + 2abc 0(1 – b – a + ab)(1 - c) > 01 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 01 – (a + b + c) =ab + bc + ca > 0Nên abc 0, b>0. Chứng minh rằng: Giải: (BĐT đúng)Vậy 10) chứng minh rằng: a2 + b2 + 1 ab + a + b Giải:Ta có: a2 + b2 2ab b2 + 1 2b a2 + 1 2a 2(a2 + b2 + 1) (2ab + 2a + 2b)(a2 + b2 + 1) ab + a + b11) cho những số dương x,y,z 0 với x + y + z = 1. Chứng tỏ rằng: x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z)Giải:Vì x,y,z 0 cùng x + y + z = 1 x,y,z 1 cùng 1-x, 1-y, 1-z 0Áp dụng bất đẳng thức cô – si mang lại hai số ko âm ta có:(1-x)(1-z) 4(1-x)(1-z) (1+y)24(1-x)(1-z) (1-y) (1+y)2(1-y)4(1-x)(1-z) (1-y) (1-y2)(1+y)4(1-x)(1-z) (1-y) 1+y = x+2y+z Vậy x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z)12) minh chứng rằng nếu các số dương a,b,c tất cả tổng a+b+c=1 thì Giải:Ta có: (vì a+b+c=1)Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:Vậy với những số dương a,b,c gồm tổng a+b+c=1 thì 13) chứng minh rằng ví như a,b,c là độ dài bố cạnh của một tam giác thì:a) ab + bc + ca a2 + b2 + c2 0. Ta có giống như ta có: bởi vì đó: ++= ab(a-b)+. 020) mang lại a,b,c là bố số ko âm vừa lòng a + b +c = 1. Minh chứng rằng: a + b 16abc Giải:Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số ko âm ta có:1 = (a + b +c)2 4a(b + c) cơ mà (b + c)2 4bc nênb + c 4a.4bc tốt b + c 16abc21) đến x2 + 4y2 = 1. Chứng minh Hướng dẫn: Đặt x – y = A x = A + y rồi vắt vào biểu thức x2 + 4y2 = 1..dùng kỹ năng về phương trình bậc hai nhằm suy ra điều bắt buộc chứng minh22) mang lại a, b, c là chiều dài bố cạnh của một tam giác. Chứng tỏ rằng: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc Giải:Ta có: a2 – (b – c2) a2 (a+b-c)(a-b+c) a2Tương tự: (b+c-a)(b-c+a) b2 (c+a-b)(c-a+b) c2<(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)>2 (abc)2(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc23) chứng tỏ bất đẳng thức sau: 3(x2 + y2 + z2 )(x+y+z)2 với đa số x,y,z Giải: 3(x2 + y2 + z2 )(x+y+z)2 (BĐT đúng)Vậy 3(x2 + y2 + z2 )(x+y+z)224) a) chứng minh (với a,b > 0)b) minh chứng rằng trường hợp a + b 2 thì a3+b3 a4 + b4Giải:a) Áp dụng bất đẳng thức côsi mang lại hai số dương ta có: 2Vậy b) Ta có: a4 – a3b + b4 – ab3 = a3(a – b) - b3(a – b) = (a3 – b3)(a – b) = (a – b) (a – b)(a2 + ab + b2) = (a – b)2<(a + + 0a4 + b4 a3b + ab32(a4 + b4) a4 + b4 + a3b + ab32(a4 + b4) a3(a + b) + b3(a + b)2(a4 + b4) (a + b)( a3+ b3)2(a4 + b4) 2( a3+ b3) vày a + b 2 >0Vậy a3+b3 a4 + b425) a) cho a 0, b 0. Chứng minh: b) mang đến . Chứng tỏ rằng: Giải:a) (a + b)(9 + ab) 12abÁp dụng bất đẳng thức côsi mang lại hai số ko âm ta có:b) Ta có:a4 + b4 = 26) cho a+b+cabc. Minh chứng rằng a2+b2+c2abc Giải: vì a+b+cabc nên gồm hai trường hợp xảy ra- Trường hợp : Ta có: - trường hợp: trong bố số có tối thiểu một số nhỏ tuổi hơn 1Không mất tính tổng quát, giả sử Ta có: a2+b2+c2 a2+b227) cho x1, y1. Chứng minh Giải:28) chứng tỏ rằng với tất cả a,b Giải: giả dụ tổng a+b 0. Minh chứng : phía dẫn: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các cặp số ;31) minh chứng rằng: Giải:Ta có:Mà (a2+1)(b2+1) = a2+b2+1+a2b2 = a2+2ab+b2+1-2ab+ a2b2 = (a+b)2 + (1-ab)2Áp dụng (*) ta có: 32) mang lại a0, b0. Chứng minh rằng: Giải:Ta có: Áp dụng côsi mang đến hai số không âm ta có:Vậy 33) cho xy =1, x>y. Chứng tỏ rằng Giải:Ta có: (theo BĐT côsi)34) bệnh minh: Giải:Theo BĐT côsi đến hai số dương ta có: a+b vết ‘=’ xảy ra khi a = b Trong việc trên thì dấu ‘=’ không xảy ra vì a b Ta có: 35) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn nhu cầu điều kiện a2+b2+c2=5/3. Chứng minh rằng: Giải:Ta có: (a+b-c)2 0 a2+b2+c2+2ab+2ca-2bc0 2ab+2ca-2bc a2+b2+c2Mà a2+b2+c2=5/3 0)36) chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e)Hướng dẫn: chuyển vế đem lại hằng đẳng thức37) cho a,b,c,d > 0. Chứng minh rằng: Giải:(áp dụng bất đẳng thức phụ )38) đến a,b,c>0 vừa lòng a + b + c = 1. Chứng minh rằng: Giải: Áp dụng BĐT côsi mang lại hai số dương ta có:Tương tự:Vậy 39) a) chứng minh: với tất cả xb) chứng tỏ Giải:a) Ta có: x2 + 3 = x2 + 2 + 1 (theo côsi cho hai số dương)dấu = không thể xảy ra vì x2 + 2>0 với đa số x Vậy với đa số xb) (BĐT đúng)Vậy 40) mang lại a2. Chứng minh rằng: Giải: (vì a2) bởi a2 yêu cầu 2a – 2 0 thì (BĐT đúng)Vậy ta có: 42) đến a>0, b>0 cùng a + b = 1.a) chứng tỏ rằng: b) chứng tỏ rằng: Giải:Áp dụng những bất đẳng thức phụ: ( HS tự chứng tỏ )a) Ta có: b) 43) đến a,b 0. Minh chứng a2b – 3ab + ab2 + 1 0. Vệt bằng xảy ra khi nào? Giải:Áp dụng côsi cho ba số dương ta có: x+y+z3Suy ra: a2b + ab2 + 1– 3ab 3- 3ab = 3ab – 3ab = 0Dấu bằng xảy ra khi a2b = ab2 = 1 a = b = 144) Cho bố số dương a,b,c . Chứng tỏ rằng: Giải:Áp dụng côsi đến hai số ko âm ta có: = a + b + c45) Với tư số a,b,c,d vừa lòng các điều kiện a2 + b2 = 2 với (a – d)(b – c) = 1. Chứng minh rằng: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab -2Giải: Ta có: a2 + b2 = 2 với (a – d)(b – c) = 1Do đó: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab = c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab + a2 + b2 + a2 + b2 – 4 = a2 – 2ad + d2 + b2 -2bc + c2 + a2 – 2ab + b2 – 4 = (a – d)2 + (b - c)2 + (a – b)2 – 4 2(a – d)(b – c) + 0 – 4 = 2.1 – 4 = - 2 46) cho a + 4b = 3. Minh chứng rằng: a2 + 4b2 phía dẫn: a + 4b = 3 a = 3 – 4b rứa vào biểu thức cần chứng tỏ rồi dưa về dạng review A2+ 47) chứng minh rằng nếu như x+y+z =1 thì x2+y2+z2Giải:x2+y2+z2 = 48) minh chứng rằng: 2( (với n là số nguyên dương)Giải:Ta có: khía cạnh khác: Vậy 49) đến x,y0 và x2 + y2 = 1. Chứng tỏ rằng Giải:Ta có: x2 + y2 = 1 x2 1 và y2 1 nhưng x0, y00x1 cùng 0x1 x3x2 , y3y2 x3 + y3x2 + y2 = 1 (1) 1 = x2 + y2 = ((theo bunhiacopxki)Mặt không giống (x+y)2 2(x2+y2) = 4 x+y (2)Từ (1) cùng (2) ta có: 50) Cho ba số thực dương thỏa mãn a + b +c = 12. Minh chứng rằng:Giải:Áp dụng côsi mang đến hai số không âm ta có:Tương tự: 51) a) chứng minh rằng: (x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 b)Gọi m là số nhỏ tuổi nhất trong ba số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 chứng minh rằng: Giải:a) HS trường đoản cú giảib) sứ mệnh x,y,z như nhau, trả sử xyz.Vì m là số nhỏ nhất trong bố số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 là số nhỏ tuổi nhất trong cha số (x-y)2 m, (y-z)2m Mặt khác: (x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 6m m52) mang lại a,b là các số dương. Hội chứng minh: hướng dẫn: Bình phương nhị vế53) chứng minh rằng: a4 + b4 a3b + ab3 với tất cả a,b HD: chuyển vế biến đổi tương đương54) minh chứng rằng với mọi x,y không giống 0 ta bao gồm đẳng thức: HD: quy đồng, khử mẫu, thay đổi tương đương55) chứng tỏ 1998 0, b>0. Chứng tỏ rằng: a3+b3 a2b+ab2HD: chuyển đổi tương đương58) với a>0, b>0, c>0. Chứng minh các BĐT:a) Giải:a) Áp dụng côsi mang đến hai số dương nghỉ ngơi vế tráib) Áp dụng côsi cho hai số dương từng cặp giống như câu ac) chứng minh bài toán phụ a3+b3 a2b+ab2 rồi suy ra vấn đề cần chứng minh59) cho a,b,c thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng: ab+bc+ca+a+b+c6Giải:Ta có: x2 + y2 2xy tuyệt xy với đa số x,y (do a2 + b2 + c2 = 3 ) Vậy ab+bc+ca+a+b+c660) cho a,b,c >0. Chứng tỏ rằng: Giải:Ta có: khía cạnh khác:61) đến a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p. Là nửa chu vi của tam giác. Hội chứng minh: (p – a)(p – b)(p –c) Giải:Ta có: p. – a = (vì b + c >a – BĐT tam giác))Tương tự: p. – b>0, p. –c>0Áp dụng côsi đến hai số dương ta có:(p – a)(p – b) Tương tự: (p – b)(p –c); (p – c)(p – a) 62) mang lại a,b,c >0. Chứng tỏ rằng: Giải:Ta có:63) Cho bố số dương a,b,c. Minh chứng rằng:Giải:Ta có: 1 + a2 2a Tương tự: bệnh minh: dung biến hóa tương đương64) triệu chứng minh: HD: Ta có: Áp dụng việc trên suy ra BĐT65) Cho tía số dương x,y,z bao gồm tổng bởi 1. Chứng minh rằng:Giải:Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có:Tương tự: 66) cho x,y>0 cùng x+y = 1. Chứng minh: 8(x4+y4)+Giải:Ta có: (x+y)2 4xy mặt khác: (HS tự triệu chứng minh)Suy ra: 8(x4+y4)+67) cho các số dương a,b,c gồm tổng bằng 1. Chứng minh: Giải:Áp dụng côsi mang lại hai số dương ta có:68) đến a+b+c = 3. Chứng minh: a4+b4+c4 a3+b3+c3Giải:Áp dụng việc phụ x4+y4x3y+xy3 ta có:3(a4+b4+c4) = (a4+b4) + (b4+c4) + (c4+a4)+(a4+b4+c4) (a3b+ab3)+ (b3c+bc3)+ (c3a+ca3)+(a4+b4+c4) = a3(a+b+c)+b3(a+b+c)+c3(a+b+c) = (a+b+c)( a3+b3+c3) = 3 (a3+b3+c3)Vậy a4+b4+c4 a3+b3+c369) cho những số dương x,y,z vừa lòng x3+y3+z3 = 1. Hội chứng minh:Giải:Vì x,y,z>0 cùng x3+y3+z3 = 1 buộc phải 1-x,1-y,1-z >0Áp dụng côsi mang lại hai số dương ta có:Tương tự: Vậy 70) cho a,b>0. Hội chứng minh: Giải:Ta có: 71) triệu chứng minh: cùng với a>b>0HD: bình phương nhì vế rồi dung phương pháp chuyển đổi tương đương72) đến x,y không âm vừa lòng x2+y2=1. Bệnh minh: Giải:Ta có: (x+y)2 2(x2+y2) = 2 và (x+y)2 = x2+y2+2xy = 1 + 2xy 1Vậy 73) mang đến a,b,c là các số thực vừa lòng a+b+c = 0. Hội chứng minh: ab + 2bc + 3ca 0Giải: a+b+c = 074) mang lại a,b,c > 1. Minh chứng : Giải:Áp dụng côsi mang lại hai số dương ta có:Tương tự: Vậy 75) đến x,y là hai số thực thế nào cho x+y=2. Chứng tỏ xy(x2+y2)2Giải: