nội dung bài viết này Vted thống kê cho mình đọc các bất đẳng thức cơ bản như BĐT AM - GM (Côsi), BĐT Cauchy - Schwarz (Bunhiacopsky), BĐT chứa căn thức, BĐT Mincopsky (Véctơ) đề nghị nhớ áp dụng trong số bài toán giá trị lớn số 1 và giá bán trị nhỏ tuổi nhất:

*

Bất đẳng thức đạt được từ hằng đẳng thức dạng $(a-b)^2ge 0$

$a^2+b^2ge 2ab;able left( fraca+b2 ight)^2;a^2+b^2ge frac12(a+b)^2.$ dấu bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi $a=b.$$a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ca.$ vệt bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi $a=b=c.$$a^2+b^2+c^2ge frac13(a+b+c)^2.$ dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$$(a+b+c)^2ge 3(ab+bc+ca).$ dấu bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi $a=b=c.$

Bất đẳng thức với nhì căn thức cơ bản

$sqrta+sqrtbge sqrta+b.$ vệt bằng xảy ra khi còn chỉ khi $a=0$ hoặc $b=0.$$sqrta+sqrtble sqrt2(a+b).$ dấu bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi $a=b.$

Ví dụ 1:Cho nhì số thực $x,y$ bằng lòng $x+y=2left( sqrtx-3+sqrty+3 ight).$ Tìm giá bán trị bé dại nhất của biểu thức $P=4(x^2+y^2)+15xy.$
A. $min P=-80.$ B. $min P=-91.$ C. $min P=-83.$ D. $min P=-63.$

Giải.

Bạn đang xem: Các bất đẳng thức phụ thường dùng

Ta tất cả $x+y=2left( sqrtx-3+sqrty+3 ight)ge 2sqrt(x-3)+(y+3)=2sqrtx+y.$ Suy ra $x+y=0$ hoặc $x+yge 4.$

Và $x+y=2left( sqrtx-3+sqrty+3 ight)le 2sqrtleft( 1+1 ight)left( x-3+y+3 ight)=2sqrt2(x+y)Rightarrow x+yle 8.$

Nếu $x+y=0Leftrightarrow x=3;y=-3Rightarrow P=-63.$Nếu $x+yin <4;8>,$ xuất phát từ điều kiện khẳng định căn thức ta có: <(x-3)(y+3)ge 0Rightarrow xyge 3(y-x)+9.>

Suy ra

<eginarrayc phường = 4x^2 + 4y^2 + 15xy = 4(x + y)^2 + 7xy ge 4(x + y)^2 + 7left< 3(y - x) + 9 ight>\ = left< 4(x + y)^2 - 21(x + y) ight> + left( 42y + 63 ight)\ ge left( 4.4^2 - 21.4 ight) + left( 42.( - 3) + 63 ight) = - 83. endarray>

Dấu bằng đạt tại $x=7,y=-3.$ Đối chiếu hai trường thích hợp ta Chọn giải đáp C.

*Chú ý: Hàm số $y=4t^2-21t$ đồng trở nên trên đoạn $<4;8>$ buộc phải ta có review $4(x+y)^2-21(x+y)ge 4.4^2-21.4.$

Bất đẳng thức AM – GM (Sách giáo khoa nước ta gọi là bất đẳng thức Côsi)

Với nhị số thực không âm ta bao gồm $a+bge 2sqrtab.$ vệt bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b.$Với ba số thực ko âm ta bao gồm $a+b+cge 3sqrt<3>abc.$ vệt bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$Với $n$ thực không âm ta có $a_1+a_2+...+a_nge nsqrta_1a_2...a_n.$ vết bằng xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=...=a_n.$Ví dụ 1:Cho $a>0;b>0$ toại ý $log _2a+2b+1(4a^2+b^2+1)+log _4ab+1(2a+2b+1)=2.$ quý hiếm biểu thức $a+2b$ bằng
A. $frac32.$ B. $5.$ C. $4.$ D. $frac154.$

Giải. Chú ý $log _ab=dfracln bln a.$ Vậy $dfracln left( 4a^2+b^2+1 ight)ln left( 2a+2b+1 ight)+dfracln left( 2a+2b+1 ight)ln left( 4ab+1 ight)=2.$

Sử dụng AM – GM có

$dfracln left( 4a^2+b^2+1 ight)ln left( 2a+2b+1 ight)+dfracln left( 2a+2b+1 ight)ln left( 4ab+1 ight)ge 2sqrtdfracln (4a^2+b^2+1)ln (4ab+1).$

Mặt không giống $4a^2+b^2ge 2sqrt4a^2.b^2=4abRightarrow 4a^2+b^2+1ge 4ab+1Rightarrow dfracln (4a^2+b^2+1)ln left( 4ab+1 ight)ge 1.$

Do đó dấu bằng phải xảy ra tức

Do kia $a+2b=frac34+3=frac154.$ Chọn lời giải D.

Ví dụ 2:Cho những số thực dương $x,y,z.$ Biết giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức $P=dfracx^2y+dfracy^24z+dfracz^2x+dfrac175sqrtx^2+94(x+1)$ là $dfracab$ cùng với $a,b$ là những số nguyên dương cùng $fracab$ tối giản. Tính $S=a+b.$
A. $S=52.$ B. $S=207.$ C. $S=103.$ D. $S=205.$

Giải.Ta reviews ba số hạng đầu nhằm mất đổi mới y với z bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

$dfracz^2x+dfracy^28z+dfracy^28z+dfracx^24y+dfracx^24y+dfracx^24y+dfracx^24yge 7sqrt<7>dfracz^2xleft( dfracy^28z ight)^2left( dfracx^24y ight)^4=dfrac7x4.$

Vậy $Pge f(x)=dfrac7x4+dfrac175sqrtx^2+94(x+1)ge underset(0;+infty )mathopmin ,f(x)=f(4)=dfrac2034.$ Chọn câu trả lời B.

Dấu bởi đạt trên $left{ eginalign&dfracz^2x=dfracy^28z=dfracx^24y, \ và x=4 \ endalign ight.Leftrightarrow (x;y;z)=(4;4;2).$

Ví dụ 3.Cho những số thực $a,b,c$ to hơn $1$ bằng lòng $log _abc+log _bca+4log _cab=10.$ Tính cực hiếm biểu thức $P=log _ab+log _bc+log _ca.$
A. $P=5.$ B. $P=frac72.$ C. $P=frac214.$ D. $P=frac92.$

Giải. Chú ý biến hóa logarit $log _axy=log _ax+log _ay(x>0,y>0),00;log _bc>0;log _ca>0$ và chú ý tính hóa học $log _xy.log _yx=1left( 0Ví dụ 4.Có toàn bộ bao nhiêu bộ bố số thực $(x;y;z)$ bằng lòng đồng thời các điều kiện bên dưới đây<2^sqrt<3>x^2.4^sqrt<3>y^2.16^sqrt<3>z^2=128> cùng $left( xy^2+z^4 ight)^2=4+left( xy^2-z^4 ight)^2.$

A. $8.$ B. $4.$ C. $3.$ D. $2.$

Giải. Ta bao gồm <2^sqrt<3>x^2.4^sqrt<3>y^2.16^sqrt<3>z^2=128Leftrightarrow 2^sqrt<3>x^2+2sqrt<3>y^2+4sqrt<3>z^2=2^7Leftrightarrow sqrt<3>x^2+2sqrt<3>y^2+4sqrt<3>z^2=7.>

Khai thác điều kiện số 2, ta có

Mặt không giống theo bất đẳng thức AM – GM đến 7 số thực dương ta có

x^2+2sqrt<3>y^2+4sqrt<3>z^2ge 7sqrt<7>sqrt<3>x^2left( sqrt<3>y^2 ight)^2left( sqrt<3>z^2 ight)^4=7sqrt<7>sqrt<3>x^2y^4z^8=7sqrt<7>sqrt<3>left( xy^2z^4 ight)^2=7.>

Do đó dấu bởi phải xẩy ra tức x^2 = sqrt<3>y^2 = sqrt<3>z^2 = 1\ xy^2z^4 = 1 endarray ight. Leftrightarrow x = 1;y,z in left - 1;1 ight.>

Mỗi số $y,z$ bao gồm 2 giải pháp vậy có tất cả $1.2^2=4$ cỗ số thực thoả mãn. Chọn giải đáp B.

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Sách giáo khoa vn gọi là bất đẳng thức Bunhiacopsky)

Ta luôn luôn có $(a^2+b^2)(x^2+y^2)ge (ax+by)^2.$ lốt bằng xảy ra khi và chỉ khi $fracax=fracby.$

Ta xuất xắc sử dụng: $-sqrt(a^2+b^2)(x^2+y^2)le ax+byle sqrt(a^2+b^2)(x^2+y^2).$

Dấu bằng bên đề xuất đạt tại $fracax=fracby=k>0;$ dấu bằng bên trái đạt trên $fracax=fracby=k
Ta luôn luôn có $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)ge (ax+by+cz)^2.$ vệt bằng xảy ra khi còn chỉ khi $fracax=fracby=fraccz.$Ta luôn luôn có $(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)ge (a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n)^2.$ lốt bằng xẩy ra khi và chỉ khi $fraca_1x_1=fraca_2x_2=...=fraca_nx_n.$Ví dụ 1:Cho hai số thực $x,y$ đồng tình $x^2+y^2le 2x+3y.$ giá trị lớn số 1 của biểu thức $2x+y$ bằng

A. $frac19+sqrt192.$ B. $frac7+sqrt652.$ C. $frac11+10sqrt23.$ D. $frac7-sqrt102.$

Giải. Ta có biến đổi giả thiết: $x^2-2x+y^2-3yle 0Leftrightarrow (x-1)^2+left( y-frac32 ight)^2le frac134.$

Khi đó $2x+y=2(x-1)+left( y-frac32 ight)+frac72le sqrtleft( 2^2+1^2 ight)left( (x-1)^2+left( y-frac32 ight)^2 ight)+frac72le sqrt5.frac134+frac72=frac7+sqrt652.$

Dấu bằng đạt tại (left{ eginarrayl fracx - 12 = fracy - frac321 = k>0\ 2x + y = frac7 + sqrt 65 2 endarray ight. Leftrightarrow x = frac5 + sqrt 65 5;y = frac15 + sqrt 65 10.) Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 2: Cho những số thực $x,y,z$ hài lòng $x^2+y^2+z^2-4x+2y-12le 0.$ giá trị lớn nhất của biểu thức $2x+3y-2z$ bằng
A. $17.$ B. $25.$ C. $21.$ D. $24.$

Giải. Biến đổi giả thiết gồm $(x-2)^2+(y+1)^2+z^2le 17.$

Khi đó

(eginarrayc 2x + 3y - 2z = left( 2(x - 2) + 3(y + 1) - 2z ight) + 4\ le sqrt left( 2^2 + 3^2 + ( - 2)^2 ight)left( (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + z^2 ight) + 4 le sqrt 17.17 + 4 = 21. endarray)

Dấu bởi đạt tại (left{ eginarrayl fracx - 22 = fracy + 13 = fracz - 2\ 2x + 3y - 2z = 21 endarray ight. Leftrightarrow x = frac7417,y = frac4317,z = - frac4017.) Chọn lời giải C.

Ví dụ 3. Cho hai số thực $x,y$ đổi khác thoả mãn $x+y=sqrtx-1+sqrt2y+2.$ gọi $a,b$ lần lượt là giá chỉ trị lớn nhất và giá chỉ trị bé dại nhất của biểu thức $S=x^2+y^2+2(x+1)(y+1)+8sqrt4-x-y.$ Tính $P=a+b.$
A. $P=44.$ B. $P=41.$ C. $P=43.$ D. $P=42.$

Giải. Ta có $x+y=sqrtx-1+sqrt2(y+1)le sqrt3(x+y)Rightarrow t=x+yin <0;3>.$

Khi đó

$eginalign& S=(x+y)^2+2(x+y)+8sqrt4-x-y+2 \& =f(t)=t^2+2t+8sqrt4-t+2in <18;25>,forall tin <0;3>Rightarrow P=18+25=43.endalign$

Chọn câu trả lời C.

Ví dụ 4:Số phức $z$ hài lòng $left| z+1-2i ight|=2sqrt2,$ giá trị lớn số 1 của biểu thức $aleft| z-1 ight|+bleft| z+3-4i ight|,left( a,b>0 ight)$ bằng

Giải.Đặt $z=x+yiRightarrow left| z+1-2i ight|=2sqrt2Leftrightarrow (x+1)^2+(y-2)^2=8.$

Khi đó thực hiện bất đẳng thức Cauchy – Schwarz có

$egingathered p = asqrt (x - 1)^2 + y^2 + bsqrt (x + 3)^2 + (y - 4)^2 leqslant sqrt left( a^2 + b^2 ight)left( left( x - 1 ight)^2 + y^2 + left( x + 3 ight)^2 + left( y - 4 ight)^2 ight) \ = sqrt left( a^2 + b^2 ight)left( 2x^2 + 2y^2 + 4x - 8y + 26 ight) = sqrt 2left( a^2 + b^2 ight)left( left( x + 1 ight)^2 + left( y - 2 ight)^2 + 8 ight) \ = sqrt 2left( a^2 + b^2 ight)left( 8 + 8 ight) = 4sqrt 2left( a^2 + b^2 ight) . \ endgathered $

Chọn đáp án B.

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức

Với các số thực dương $x_1,x_2,...,x_n$ ta luôn có $dfraca_1^2x_1+dfraca_2^2x_2+...+dfraca_n^2x_nge frac(a_1+a_2+...+a_n)^2x_1+x_2+...+x_n.$ Dấu bằng đạt tại $dfraca_1x_1=dfraca_2x_2=...=dfraca_nx_n.$

Ví dụ 1: Cho hàm số $y=(x+m)^3+(x+n)^3+(x+p)^3-x^3,$ gồm đồ thị $(C).$ Tiếp đường của $(C)$ trên điểm bao gồm hoành độ $x=1$ có hệ số góc nhỏ tuổi nhất. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $m^2+2n^2+3p^2$ bằng
A. $frac1211.$ B. $frac9611.$ C. $frac4811.$ D. $frac2411.$

Giải. Hệ số góc của tiếp đường là

$k=y"=3(x+m)^2+3(x+n)^2+3(x+p)^2-3x^2=6x^2+6(m+n+p)x+3m^2+3n^2+3p^2$ đạt giá trị bé dại nhất trên $x=-frac6(m+n+p)2.6=-fracm+n+p2.$ Theo mang thiết có $-fracm+n+p2=1Leftrightarrow m+n+p=-2.$

Khi kia theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có:

$m^2+2n^2+3p^2=dfracm^21+dfracn^2frac12+dfracp^2dfrac13ge dfrac(m+n+p)^21+dfrac12+frac13=dfrac41+dfrac12+dfrac13=dfrac2411.$

Dấu bằng đạt tại (left{ eginarrayl m + n + p = - 2\ dfracm1 = dfracnfrac12 = dfracpdfrac13 endarray ight. Leftrightarrow m = - dfrac1211,n = - dfrac611,p = - dfrac411.) Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 2: Cho các số thực $x,y,z$ nhất trí $xy+yz+zx=1.$ giá chỉ trị nhỏ nhất của biểu thức $3x^2+4y^2+5z^2$gần nhấtvới kết quả nào dưới đây ?
A. $1,33.$ C. $3,89.$ B. $1,94.$ D. $2,67.$

Giải. Ta tiến công giá: $3x^2+4y^2+5z^2ge 2k(xy+yz+zx)Leftrightarrow (k+3)x^2+(k+4)y^2+(k+5)z^2ge k(x+y+z)^2.$

Trong kia $k$ là một hằng số dương được lựa chọn sau, khi đó giá trị bé dại nhất của biểu thức $3x^2+4y^2+5z^2$ bởi $2k.$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có:

$(k+3)x^2+(k+4)y^2+(k+5)z^2=dfracx^2frac1k+3+dfracy^2frac1k+4+dfracz^2frac1k+5ge dfrac(x+y+z)^2dfrac1k+3+dfrac1k+4+dfrac1k+5.$

Vậy hằng số $k$ phải tìm là nghiệm dương của phương trình $dfrac1dfrac1k+3+dfrac1k+4+dfrac1k+5=kLeftrightarrow k^3+6k^2-30=0Rightarrow kapprox 1,9434.$ vì thế chọn đáp án C.

Bất đẳng thức Mincopski (bất đẳng thức véctơ)

$sqrta^2+b^2+sqrtm^2+n^2ge sqrt(a+m)^2+(b+n)^2.$ vết bằng xảy ra khi và chỉ khi $fracam=fracbn=k>0.$Ví dụ 1:Giá trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức $sqrt(x-1)^2+y^2+sqrt(x+1)^2+y^2+left| y-2 ight|$ bằng
A. $sqrt5.$ B. $2.$ C. $2+sqrt3.$ D. $frac4+sqrt32.$

Giải.

Xem thêm: Một số phương pháp dạy học tích cực ở tiểu học thân thiện, học sinh tích

Sử dụng bất đẳng thức Mincopsky ta có

(eginarrayc sqrt (x - 1)^2 + y^2 + sqrt (x + 1)^2 + y^2 = sqrt (x - 1)^2 + y^2 + sqrt ( - x - 1)^2 + y^2 \ ge sqrt (x - 1 - x - 1)^2 + (y + y)^2 = sqrt 4y^2 + 4 = 2sqrt y^2 + 1 . endarray)

Do đó $sqrt(x-1)^2+y^2+sqrt(x+1)^2+y^2+left| y-2 ight|ge f(y)=2sqrty^2+1+left| y-2 ight|ge undersetmathbbRmathopmin ,f(y)=fleft( frac1sqrt3 ight)=2+sqrt3.$

Dấu bởi đạt tại (left{ eginarrayl fracx - 1 - x - 1 = fracyy\ y = frac1sqrt 3 endarray ight. Leftrightarrow x = 0;y = frac1sqrt 3 .) Chọn giải đáp C.

*

*

*

Bạn hiểu cần bạn dạng PDF của nội dung bài viết này hãy để lại bình luận trong phần comment ngay bên dưới nội dung bài viết này Vted đã gửi cho các bạn

Đề thi thử xuất sắc nghiệp trung học phổ thông 2023 môn Toán có lời giải chi tiếtCombo 4 Khoá Luyện thi THPT quốc gia 2023 Môn Toán dành riêng cho teen 2K5

Fj
QXMYs7.png" alt="*">